GLI ARMONICI SENARI COME FONDAMENTO DELL’ORGANIZZAZIONE TONALE
Alla base di queste ricerche c'è
la mia tesi di laurea al D.A.M.S. settore musica, della Università
degli studi di Bologna, elaborata negli anni 1988-1989, dal titolo: “I
sistemi di temperamento delle scale naturali sugli strumenti a suoni fissi”.
(scaricabile in formato .doc - 525 Kb)
In questo lavoro si prendono in esame le scale e i sistemi di accordatura
a partire dagli antichi greci fino al temperamento equabile e oltre, ripercorrendo
l'intera dottrina della Teoria della Musica lungo tutto il corso della
sua evoluzione.
Per poter ascoltare queste scale e questi sistemi di temperamento nella loro accordatura originale, ho poi costruito un interprete MIDI in prolog, che consente, mediante un sistema simbolico di notazione, di produrre dei file in formato standard MIDI, che quindi possono essere ascoltati su qualsiasi computer o apparecchiatura MIDI, i quali, utilizzando il pichbend polifonico, consentono di intonare singolarmente ogni nota di una polifonia, inviando ogni linea melodica su un canale midi diverso.
Con tale programma è possibile, senza intervenire sul settaggio del sistema midi di riproduzione, produrre files midi in qualsiasi sistema di temperamento equabile (divisione geometrica dell'ottava in parti aliquote), in intonazione "pura", derivante dall'intonazione dei primi 6 armonici, che in intonazioni pure estese, comprendenti armonici superiori al 6°.
E' un trattato di teoria della musica a cui sto lavorando da qualche anno, in via di completamento, di cui darò qui una breve ma significativa sintesi.
GLI ARMONICI SENARI COME FONDAMENTO DELL’ ORGANIZZAZIONE
TONALE (Abstract)
Questo lavoro utilizza come sistema di riferimento un'estensione della
teoria dei suoni armonici, in grado di dare una razionale giustificazione
ai tradizionali problemi della teoria musicale, quali la genesi degli
accordi maggiore e minore e dei modi relativi, i nessi tonali fondati
sui rapporti tonica-dominante-sottodominante, le relazioni tra accordi
e scale. Si riprende qui e si sviluppa la teoria di Rameau degli armonici
come "fondamento naturale" dell'armonia, estendendo l'analisi
della serie ben oltre il fatidico sesto armonico, (seguendo un intuizione
di Rameau stesso che nell'ultimo dei suoi lavori prospetta questa possibilità).
Sulla base di un unico principio, il fenomeno acustico degli armonici
concomitanti, si deduce il concetto di consonanza-dissonanza e la teoria
dei modi armonici. L'estensione dell'analisi agli armonici più
lontani, insieme al recupero del basso generatore come fondamento dell'analisi
musicale, porta ad un superamento della visione bimodale maggiore-minore
della teoria tonale moderna per arrivare, una volta stabilite le relazioni
tra i vari "modi armonici", alla definizione di un modo cromatico,
che contiene in se tutti i modi utili e in pratica utilizzati nella musica
modale o tonale antica e moderna.
Il presupposto metodologico su cui si fonda questa teoria è che
il nostro apparato psicologico-percettivo interpreti i fatti armonici
mediante un "calcolo inconscio", secondo l'ipotesi di Laibnitz
e postula quindi la rilevanza semantica del numero, inteso come rapporto
di frequenza, nella fruizione musicale, sia a livello melodico-armonico
che ritmico.
Questo punto di vista porta a considerare la teoria della musica secondo
l'ottica antica, non più come un sistema normativo di regole dedotte
dalla prassi compositiva dei grandi maestri del passato, come attualmente
avviene, ma come un sistema di riferimento astratto, sulla base del quale
sia possibile l'interpretazione dei fatti armonici per via deduttiva.
Gli obbiettivi di questo lavoro sono di due ordini: sul piano teorico
quello di render conto del significato intrinseco dei fondamenti armonici
della musica tonale; sul piano pratico quello della messa a punto di un
metodo per la composizione, l'analisi e l’improvvisazione jazzistica,
utile a tutti i musicisti che operano nell'ambito della musica tonale
(pop, jazz, rock, latin, funky, ecc.).
Benché tutti gli accordi e i modi relativi siano analizzati nella
loro intonazione "naturale", in quanto derivata dalla serie
degli armonici naturali, ed espressa per mezzo di rapporti di frequenza
tra interi, l'intero sistema di accordi e scale si intende riferito ed
è totalmente utilizzabile all'interno del nostro sistema a temperamento
equabile, pur rimanendo valido anche a prescindere da quest'ultimo. Per
distinguere le sfumature microtonali presenti in sistemi ad intonazione
naturale come questo, è stata poi introdotta una scala affine al
nostro sistema equalizzato, ma con una suddivisione dell'ottava molto
più fine, in cui l’ottava viene suddivisa in 53 particelle
equivalenti, che può essere utilmente utilizzata come sistema di
misura additivo degli intervalli naturali.
Il Fenomeno degli armonici
La scoperta
degli armonici concomitanti si deve al fisico Joseph Sauveur, che sulla
base del fenomeno della risonanza acustica, constatò che qualunque
suono di tipo musicale è composto da una serie di armonici la cui
percettibilità auditiva diminuisce col crescere dell'altezza dei
suoni rispetto alla fondamentale. Egli constatò come un suono di
frequenza = x metteva in risonanza solamente quei risuonatori che erano
intonati su una frequenza di risonanza multipla di x.
Oggi sappiamo che la forma d'onda di un suono di tipo musicale è
scomponibile in onde sinusoidali semplici in successione armonica mediante
un metodo matematico di analisi chiamato trasformata di Fourier. Sulla
base di questo metodo è possibile ricostruire artificialmente qualunque
suono ad altezza definita con risultati molto convincenti. Questo processo
si chiama sintesi additiva in quanto fondato sulla somma di una serie
di onde sinusoidali in successione armonica modulate (lentamente rispetto
alla frequenza) in ampiezza e frequenza.
Secondo la prima teoria della percezione auditiva su basi fisiologiche,
la cosiddetta teoria dei risuonatori di Helmholtz, i suoni complessi vengono
scomposti all'interno dell'apparato cocleare dell'orecchio nei loro componenti
semplici in maniera simile a quella attuata dalla trasformata di Fourier,
mettendo in vibrazione regioni diverse della membrana basilare a seconda
dell'altezza delle frequenze: iniziale per quelle acute, media per quelle
medie e apicale per quelle basse. Secondo questa teoria, oggi non più
unanimemente accettata, anche la nostra capacità di riconoscimento
dei timbri sarebbe quindi connessa al fenomeno degli armonici concomitanti.
La frequenza dei successivi armonici di un suono di frequenza
n seguono la progressione aritmetica: n + n + n + n ... Matematicamente
si tratta di una successione di interi del tipo:
{ f, 2f, 3f,...} a1 = f
, an = n * f (con il primo
termine = f e l’ennesimo = n * f).
Se prendiamo come fondamentale la nota Fa = 1, i valori musicali dei
primi 10 armonici sono:
I primi sei armonici producono l'accordo maggiore, mentre la triade maggiore in posizione stretta è data dagli armonici 4, 5, 6. I primi 10 armonici di un fondamentale = Fa, producono l'accordo di F9 (Fa, La Do, Mib, Sol). Ma, mentre l'intonazione dei primi sei armonici è perfettamente consonante, l'intonazione dell'armonico 7 è sensibilmente più bassa sia rispetto all'intonazione temperata (-31 cents) che all'intonazione pura della settima minore, pari a 9/5.
A partire dal Rinascimento, tutti i principali teorici da Zarlino fino a Helmholtz e oltre hanno sostenuto la necessità di fermarsi all'armonico 6, nella definizione dei rapporti intervallari. Secondo Salinas, tutte le principali consonanze derivano dalla divisione della corda per un numero intero di volte fino al 6, dalle loro trasposizioni d'ottava e dai loro rivolti. Gli intervalli più piccoli che ricorrono a numeri più alti di 6 derivano dalla differenza (quoziente, nei calcoli sui rapporti di freq.) tra le suddette consonanze e non dalla loro divisione (aritmetica o armonica). L'ammissione dell'armonico 7 comporterebbe l'introduzione di tutta una serie di intervalli molto prossimi a quelli gia introdotti dagli armonici 2, 3 e 5; l'armonico 7 produce infatti tre nuovi intervalli cromatici ancora più piccoli del semitono cromatico naturale = 25/24. Per Cartesio, le ragioni dell'esclusione dell'armonico 7, e di tutti i successivi primi, sono di ordine fisiologico e psicologico, conseguenti all'imperfezione naturale dell'organo dell'udito che oltre quel limite non percepirebbe più distintamente rapporti più piccoli senza eccessiva fatica: "aurium imbecillitas sine labore miores sonorum differentias non potest distinguere" .
L’armonico 7 è utilizzato da alcuni teorici per spiegare la genesi dell’accordo di settima di dominante e della triade diminuita:
4°
Do
5°
Mi
Mi
6°
Sol
Sol
7°
Sib
Sib
accordo di settima di dominante
triade diminuita
L’intervallo di tritono
che si viene a formare tra mi e Sib in questo caso sarebbe uguale a 7/5.
Tale intervallo è però più consonante della sesta
minore naturale, pari a 8/5 ed è perciò da considerarsi
consonante a tutti gli effetti. Un accordo di settima intonato su questi
armonici non avrebbe perciò quell’effetto di tensione necessario
a giustificare il trattamento della dissonanza di tritono nell’armonia
tradizionale ne la sua necessità di risoluzione. Un interpretazione
di questo tipo per l’accordo di settima di dominante è piuttosto
adatta a spiegare l’uso di questo accordo nel blues; dove appunto
esso non ha una funzione di tensione ma è un accordo statico, usato
al posto della triade maggiore. A conferma di questa interpretazione sappiamo
che nel blues delle origini, l’intonazione vocale delle cosiddette blue notes (terza e settima minori) era calante rispetto all’intonazione
pura, per cui possiamo supporre che esse fossero intonate proprio sul
settimo armonico:
settima minore:
terza minore:
Naturale
9/5
6/5
7° arm.
7/4
7/6
Differenza
- 49 cents
- 49 cents
Nell'armonizzazione jazzistica
è infatti frequente la sostituzione dell'accordo maggiore sul I°
o sul IV° grado con quello di settima costruito sulla stessa tonica.
Nell’intenzione di proseguire la nostra analisi ben oltre il settimo
armonico, ci atterremo perciò alla tradizione, escludendo, per
i problemi suesposti, tutti i numeri primi a partire dal 7, e tutti i
loro multipli. La serie che ne deriva sarà la serie dei numeri
naturali (escluso lo 0) epurata della serie armonica del 7 {7, 14, 21,
28,...}, dell’11 {11, 22, 33, 44,...}, del 13, e cosi via per tutti
i primi maggiori di 5.
I rapporti intervallari che si vengono a formare all'interno di una serie così epurata appartengono ad un sottoinsieme dei numeri razionali così definito:
(un valore x appartiene all’insieme S se e solo se x è un numero razionale, e se può essere scomposto nella forma 2m * 3n * 5J* k, dove m, n e j sono numeri relativi e k è una costante)
dove k è l'intonazione in Hz del fondamentale della serie, Q è l'insieme dei numeri razionali e Z quello degli interi relativi. L'insieme S è l'insieme dei numeri senari.
Tralasciamo qui l'analisi dettagliata della serie armonica, la definizione degli accordi e delle loro relazioni e il capitolo relativo alla consonanza e dissonanza, per passare ad argomenti probabilmente più interessanti per la maggior parte dei musicisti, e cioè il metodo per dedurre le scale relative a partire da un accordo dato e viceversa, e il tema delle sostituzioni degli accordi e della modulazione.
La tavola qui sopra riassume
tutte le scale diatoniche senarie e gli accordi relativi, ovvero tutte
le scale diatoniche e tutti i tipi di accordo usati nella pratica della
musica tonale; e consente di derivare per qualsiasi accordo la scala o
le scale relative e viceversa. Ogni rigo contiene un "modo"
diatonico, ovvero una successione di sette note a intervalli di seconda,
senza semitoni contigui, costruibile sulla VI ottava degli armonici
senari, la quale, se il generatore della serie è un Fa, sarà
costituita dalle note:
Fa, Sol, Sol#, la, Si, Do, Do#, Re, Mi, Mi#.
Tra i modi non diatonici costruibili sulla VI ottava degli armonici
senari troviamo inoltre:
la scala blues: Re, Fa, Sol,- Sol#,- La, Si,- Do,- (Do#),-
Re;
la scala bebop (major): Do, Re, Mi,- Fa, Sol,- Sol#,-
La, Si,- Do;
la scala aumentata: Fa, Lab,- La, Do,- Do#, Mi,- Fa;
costituita da tre successioni di terza minore e un semitono,
e la scala tzigana: Do,- Reb, Mi,- Fa, Sol,- Lab, Si,-
Do;
(il segno "-" indica l'intervallo di semitono).
Quest'ultima si incontra anche costruita a partire da Fa e da Sol, perciò
è da considerarsi un modo dello stesso genere dei cinque modi riportati
in tabella, sebbene non diatonico a causa dei due semitoni consecutivi:
Si - Do - Reb.
Il nome a sinistra nello schema dei primi tre modi dipende dalle varie forme del modo minore che si possono ottenere su ognuno: il modo Naturale contiene infatti il modo minore naturale a partire dal III grado (La, Si, Do, Re, Mi, Fa, Sol); il modo Melodico contiene il modo minore melodico nella sua forma ascendente a partire dal VI grado (Re, Mi, Fa, Sol, La Si, Do#); il modo Armonico contiene il modo minore armonico a partire dal III grado (La, Si Do, Re, Mi, Fa, Sol#). Il modo Aumentato contiene il modo maggiore armonico (vedi R. Korsakow, Trattato pratico d'armonia, Sonzogno, pag.21) a partire dal III grado (La, Si, Do#, Re, Mi, Fa, Sol#); mentre il modo Diminuito è stato così chiamato per la sua somiglianza alla scala diminuita, formata dalla successione di tono e semitono (Fa, Sol, Lab, Sib, Si, Do#, Re, Mi), da cui differisce solo per l'assenza del Sib.
I nomi posti in alto si riferiscono alle scale che si possono costruire partendo dai vari gradi dei modi principali. Considerando il modo Naturale, la scala Lidia Naturale è quella costruita a partire dal primo grado del modo (Fa, Sol, La, Si, Do, Re, Mi); la scala Misolidia Naturale è quella costruita a partire dal II grado del modo (Sol, La, Si, Do, Re, Mi, Fa); la scala Eolia Naturale è quella costruita a partire dal III grado del modo (La, Si, Do, Re, Mi, Fa, Sol) e così via. Questa nomenclatura è quella comunemente usata nei manuali di improvvisazione jazzistica, e corrisponde al sistema di nomenclatura dei modi ecclesiastici medievali proposta nel XVI secolo dal teorico svizzero Glareanus, che credeva così di ricuperare l'antico sistema di classificazione della teoria dei modi greca. I sette modi di Glareanus in questo schema sono quelli costruibili a partire dal modo Naturale. Procedendo alla stessa maniera con gli altri modi principali, otterremo un sistema di 5 * 7 = 35 scale, tutte differenti dal punto di vista della successione degli intervalli e tutte contenute negli armonici di un unico suono generatore = Fa. Così, ad, esempio, la scala Dorica Aumentata è quella costruita a partire dal VI grado del modo Aumentato: Re, Mi, Fa Sol#, La, Si, Do#. L'intero sistema di scale così ottenuto è poi trasponibile su qualsiasi tonalità lidia all'interno del circolo delle quinte; se ammettiamo l'enarmonia al sesto circolo per cui Fa# = Solb, avremo un totale di 35 * 12 = 420 scale differenti.
Abbiamo preferito utilizzare come nota di partenza è il Fa piuttosto che il Do, in quanto, partendo dal Fondamentale Do, per quanti armonici possiamo considerare, non incontreremo mai la nota Fa, a distanza di quarta giusta (4/3) dal fondamentale, o meglio da una delle sue ottave superiori. L'unica nota che, presa come fondamentale di una serie armonica, contiene tra i suoi armonici i suoni che consentono di costruire una scala diatonica formata solo da note non alterate è appunto il Fa. Gli armonici, infatti, contengono virtualmente tutte le quinte ascendenti di un dato fondamentale (fond. Fa: Do, Sol, Re, La, Mi, Si, ecc.) ed anche tutte le terze maggiori (Fa, La, Do# Mi#, ecc.) ma non le quarte ne le terze minori. Ciò spiega le limitazioni nell'uso della triade in secondo rivolto nell'armonia tradizionale, che presenta appunto un intervallo di quarta rispetto al basso, e il fatto che la quarta fosse considerata consonanza imperfetta, sebbene dal punto di vista acustico si tratti di un intervallo molto consonante. Allo stesso motivo possiamo ascrivere l'uso della terza piccarda, ovvero la consuetudine, fin dal rinascimento, di concludere una frase musicale in minore sulla triade maggiore (che riconferma gli armonici del basso).
Lo schema presenta come modi principali le varie forme del modo Lidio, piuttosto che del modo maggiore, e ciò perchè il primo grado del modo è in relazione d'ottava con il generatore della serie armonica. Nella teoria tradizionale, i due modi fondamentali sono il modo maggiore e il modo minore, nelle tre forme naturale, melodica e armonica. Ma il modo maggiore si presenta nella serie degli armonici senari in relazione di dominante rispetto al generatore della serie, mentre i modi minore naturale e armonico sono in relazione di terza maggiore rispetto al generatore e il modo melodico in relazione di sesta maggiore (nella parte ascendente). Sebbene tutti questi modi siano interamente contenuti nel fondamentale, non essendo che dei sottoinsiemi dei suoi armonici, quello che sta in più stretta relazione col fondamentale della serie è appunto il modo Lidio. In particolare i modi Lidio Naturale e Lidio Melodico si incontrano nella V ottava della serie armonica (armonici senari da 32 a 64), mentre i modi Lidio Armonico, Lidio Aumentato e Lidio Diminuito si presentano all'ottava successiva (VI ottava armonica, armonici senari da 64 a 128). I primi due sono perciò più consonanti dei successivi tre modi, e infatti sono quelli più usati nella musica tonale. Le varie forme del modo Lidio verranno perciò considerate qui come i modi fondamentali, da cui tutti gli altri possono essere derivati; in questo senso questo lavoro conferma le tesi esposte da G. Russel nel suo "The Lydian Chromatic Concept of Tonal Organization", 1964, sebbene non tutte le scale da lui proposte abbiano una giustificazione teorica rigorosa. Tale impostazione rende conto dell'attrazione dell'accordo di tonica verso quello di sottodominante, che in questa prospettiva diventa I° grado del modo Lidio: così la cadenza plagale IV - I diventa qui cadenza sospesa I - V, mentre l'accordo di dominante diventa qui dominante della dominante, per cui la cadenza V - I - IV - I diventa II - V - I - V.
Attraverso questo schema è possibile individuare tutte le scale relative a un accordo dato. Gli accordi sono espressi nella notazione simbolica comunemente in uso nella pratica jazzistica, di cui diamo di seguito breve esplicazione:
F maj7 = tetrade maggiore (Fa, La, Do, Mi)
F 7 = tetrade di dominante (Fa, La, Do, Mib)
F m7 = tetrade minore (Fa, Lab, Do, Mib)
F m7b5 = tetrade di sensibile sul modo maggiore (Fa, Lab, Dob, Mib)
F°7 = tetrade di sensibile sul modo minore (Fa, Lab, Dob, Mibb)
F+ = triade eccedente (Fa, La, Do#)
A partire da questi sei tipi principali si possono aggiungere altre alterazioni e/o altri suoni, ad es.:
F7#5 = tetrade di dominante con la quinta eccedente (Fa,
La, Do#, Mib)
Fm9 = pentade minore (Fa, Lab, Do, Mib, Sol)
Fm j7 = tetrade sul I° grado del modo minore armonico(Fa, Lab, Do,
Mi)
Nel nostro schema sono state poi introdotte alcune convenzioni
particolari per esigenze di sintesi: quando troviamo accordi con elementi
separati da virgole, ad, es.: Cmaj7,9,11,13 tale notazione significa:
Cmaj7, oppure Cmaj9, oppure Cmaj11, oppure Cmaj13. Cio significa che la
scala sotto cui è posto tale simbolo (in questo caso la scala Ionica
Naturale di Do) è ugualmente adatta ad essere suonata su ognuno
di questi accordi.
Quando troviamo un accordo con elementi racchiusi tra parentesi, ad es.:
E7(b9) ciò significa che la scala sotto cui è posto l'accordo
è adatta tanto per l'accordo E7 che per l'accordo E7b9. Nel caso
di due elementi tra parentesi, ad es.: C#m7(b5 b9) significa: C#m7 o C#m7b5
o C#m7b9 o anche C#m7b5b9.
Si possono trovare anche entrambe le convenzioni in un medesimo simbolo,
ad es.: A7(#5,b6) significa A7 o A7#5 o A7b6 ma non A7#5b6 (che del resto
non avrebbe molto senso).
Gli accordi sono dati tenendo conto delle enarmonie implicite nel nostro
sistema di temperamento e quindi della nostra prassi armonico-tonale;
uno schema basato sull'intonazione pura degli accordi conterrebbe ovviamente
meno accordi differenti e molti rivolti.
Come utilizzare lo schema per trovare tutte le scale relative a un accordo dato? Procediamo con un esempio. Supponiamo di voler trovare le scale adatte ad essere suonate su un accordo di Bb maj7. Cerchiamo innanzitutto nello schema le scale sulle quali è presente l'accordo maj7, a prescindere dalla tonica dell'accordo:
1)
Lidio Naturale: Fmaj7
2) Ionico Naturale (maggiore):C maj7
3) Lidio Armonico: Fmaj7
4) Eolio Aumentato: Amaj7
(Fa, Sol, La, Si, Do, Re, Mi)
(Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si)
(Fa, Sol#, La, Si, Do, Re, Mi)
(La, Si, Do#, Re, Mi, Fa, Sol#)
Per ottenere le scale relative all'accordo di Bb maj7 occorrerà
trasporre le scale trovate dell'intervallo che intercorre tra la tonica
dell'accordo trovato e quella dell'accordo dato:
1) F maj7 - Bb maj7: IV giusta
->
2) C maj7 - Bb maj7: VII minore ->
3) F maj7 - Bb maj7: IV giusta ->
4) A maj7 - Bb maj7: II minore ->
(Sib, Do, Re, Mi, Fa, Sol, La)
(Sib, Do, Re, Mib, Fa, Sol, La)
(Sib, Do#, Re, Mi, Fa, Sol, La)
(Sib, Do, Re, Mib, Fa, Solb, La)
Come si vede tutte le scale trovate contengono le note dell'accordo (Sib,
Re, Fa, La). Di queste, le prime due, derivanti dal modo Naturale, saranno
le più consonanti, mentre le altre potranno essere usate per dare
un diverso colore alla frase musicale.
Sostituzioni e modulazione
Si intende per modulazione il passaggio da una tonalità
ad un altra nell'ambito dello stesso brano, ovvero lo spostamento del
basso fondamentale ad un altro suono, attuato mediante l'uso di un accordo
comune alle due tonalità (modulazione per collegamento armonico),
o per uno spostamento cromatico di una o più voci dell'accordo
(modulazione cromatica) o ancora utilizzando particolari accordi che possono
essere interpretati enarmonicamente come appartenenti a tonalità
diverse (modulazione enarmonica).
Dato che lo schema suesposto mostra tutti i modi diatonici ottenibili
da un solo fondamentale, in quest'ottica il passaggio ad esempio dalla
tonalità di Do maggiore (Modo Ionico Naturale di Do) a quella di
Re minore melodico (Modo Dorico Melodico di Re) non è quindi da
considerarsi una modulazione, ma solo un cambio di modo, che non sposta
il basso fondamentale. Allo stesso modo, una sostituzione di un accordo
con un un altro appartenente alla stessa colonna nello schema introduce
solo un momentaneo cambio di modo e non una modulazione vera e propria.
Anche quando su un certo grado di un modo sono presenti più accordi,
in forma esplicita (ad es. V grado del modo Melodico) o implicita (ad.
es. II grado del Modo Diminuito) è possibile la sostituzione. Non
si tratta in questo caso di un cambio di modo, ma di una diversa armonizzazione
di quel grado del modo attuata mediante degli scambi enarmonici. Naturalmente
non tutte le sostituzioni possibili sono sempre di buon effetto, occorre
valutare caso per caso che le dissonanze introdotte non contraddicano
il contesto armonico di riferimento.
Consideriamo l'accordo di settima di dominante nello
schema, che, come è noto, è di fondamentale importanza nella
modulazione per introdurre la nuova tonalità. Di norma l'accordo
si settima di dominante risolve con il salto di quarta ascendente del
fondamentale: es. Sol7 -> Do maj7. Tale accordo si trova sul II grado
del Modo Naturale: Sol7, la sua naturale risoluzione
è quindi sul modo Ionico Naturale di Do (ton. di Do maggiore).
Lo troviamo poi sul III grado del Modo Melodico: La7,
che quindi risolve sul modo Dorico Melodico di Re (ton. di Re minore melodico);
lo incontriamo poi sul VII grado del Modo Armonico: Mi7,
la cui risoluzione sarà sul modo Eolio Armonico di La (ton. di
La minore armonico); ed ancora sul VII grado del Modo Aumentato: Mi7
la cui risoluzione sarà il modo Eolio Aumentato di La (ton. di
La maggiore armonico). Come si vede, invece dei due modi maggiore e minore,
abbiamo qui due "modi maggiori": lo Ionico Naturale e l'Eolio
Aumentato; e due "modi minori": il Dorico Melodico e l'Eolio
Armonico sui quali può risolvere l'accordo di dominante. La teoria
tradizionale ammette infatti l'uso della sesta abbassata nel modo maggiore
(che di fatto lo trasforma nel modo Eolio Aumentato) e distingue tre forme
per il modo minore: il minore naturale (modo Eolio Naturale) poco usato
in senso armonico a causa della mancanza della sensibile, il minore Armonico
(modo Eolio Armonico) e il minore melodico (corrispondente al modo Dorico
Melodico nella parte ascendente).
L'accordo di settima di dominante si incontra poi sul II grado del Modo
Melodico e del Modo Diminuito: Sol7. In questo caso esso
non può risolvere con il salto di quarta del fondamentale, non
essendoci in questi due modi il Do naturale; ma su uno qualsiasi degli
accordi di settima presenti sul V grado dei modi Melodico e Diminuito,
e anche sull'accordo di Do#maj7, costruibile sulla VI
ottava degli armonici senari di Fa (di cui i modi diatonici non sono che
dei sottoinsiemi). Non si tratta in questo caso di una risoluzione, ma
della cosiddetta "sostituzione della quinta diminuita"
o "sostituzione di tritono" come viene chiamata nell'armonizzazione
jazzistica. Tale sostituzione si basa sulle proprietà enarmoniche
dell'accordo di settima di dominante con la quinta diminuita, il quale
è enarmonicamente equivalente a un accordo dello stesso tipo costruito
una quinta diminuita sopra (es. Sol, Si, Reb, Fa = Reb, Fa, Labb, Si).
La triade maggiore di C# o Db costruibile sul V grado dei modi Aumentato e Diminuito corrisponde all'accordo di "sesta napoletana", un accordo estraneo alla tonalità di impianto, usato fin dal XVIII secolo. Per spiegare questo e altri processi armonici basati su un movimento cromatico della fondamentale degli accordi, che contraddicono la tonalità di impianto, la teoria armonica tradizionale ha postulato il concetto di "accrescimento di tendenza melodica". Molti di questi processi sono spiegabili all'interno dello schema diatonico proposto senza bisogno di chiamare in causa concetti estranei all'armonia, utilizzando semplicemente i cambi di modo e la modulazione (cioè lo spostamento del generatore o basso fondamentale).
Può sembrare strano l'utilizzo di armonici così lontani per la costruzione delle scale; l'armonico 75° (che corrisponde a Sol#, se il fondamentale è Fa) su un fondamentale di 400 Hz cadrebbe già al di sopra della soglia di udibilità per le frequenze. In realtà, le successive ottave degli armonici senari contengono sempre le note più consonanti rispetto al fondamentale, essendo questi per definizione formati solo dalle quinte del fondamentale e dalle terze maggiori di queste ultime. Ogni nuova ottava si arricchisce di nuovi suoni rispetto alla precedente, fino ad arrivare, alla VII ottava, a comprendere tutte le note della scala cromatica eccetto il Sib (con fondamentale Fa). Questa eccezione rende il sistema consistente: dato che, come abbiamo visto, non esiste il Sib tra gli armonici di Fa, se nella scala è presente il Sib, significa che è avvenuta una modulazione al tono della sottodominante, cioè che il fondamentale non è più Fa ma Sib, o un altro suono del circolo discendente delle quinte (Fa, Sib, Mib, Lab, Reb, Solb, ecc.). Data la tendenza del basso a muoversi per quarte ascendenti (o quinte discendenti), tale modulazione può essere facilmente individuata, in quanto introduce l'unico suono che non è presente nella scala cromatica di riferimento. Tale scala contiene tutti i modi e le scale sin qui esposti, più alcune altre scale tra cui citiamo la scala semidiminuita: Mi#, Fa#, Sol#, La, Si, Do, Re, Re#; e la scala esatonale: Fa, Sol, La, Si, Do#, Re#.
Per rendere più chiari i rapporti tra il fondamentale e le altre note della scala, possiamo disporre graficamente le note della scala in modo da visualizzare le quinte (3/2) verticalmente e le terze maggiori (5/4) orizzontalmente. I rapporti intervallari che intercorrono tra le note della VI ottava degli armonici senari, da cui le scale diatoniche derivano, si possono quindi esprimere così:
La(81)
Re(27)
Sol(9)- Si(45)
Do(3) - Mi(15)- Sol#(75)
Fa(1) - La(5) - Do#(25) - Mi#(125)
A fianco di ogni nota è riportato l'armonico senario relativo alla sua prima apparizione all'interno della serie. Per riportare tutti i suoni all'interno della medesima ottava sarà sufficiente moltiplicare i vari armonici per una potenza di due (2, 4, 8, 16, 32, 64, ecc.), e cioè trasporli di un certo numero di ottave. Tale schema rende conto anche dei valori di consonanza dei suoni con il fondamentale: tanto più è piccolo il numero, tanto più consonante sarà l'intervallo che si forma tra questo e il fondamentale (Fa = 1).
Si notino le tre triadi perfette Fa - La - Do, Do - Mi - Sol, e Sol - Si - Re, rispettivamente di sottodominante, tonica e dominante, ma anche La - Do# - Mi, dominante di Re minore melodico (dorico melodico), Mi - Sol# - Si, dominante di La minore armonico (eolio armonico) e Do# - Mi# - Sol#, accordo di sesta napoletana (IIb di Do).